熵的神祕國度

Arieh Ben-Naim《熵的神祕國度》(Entropy demystified)，王碧、牟盷譯、牟中原審訂，台北﹕天下文化，2013

熵這個字，一看已經令人不知是甚麼，就像那些化學名詞一樣。於是就連李逆熵選了這個筆名也要解釋一番。熵的英文entropy來自希臘文的「轉化」，仿energy(意指「活動」)而創作，旨在描述一個系統內在的轉變。中文譯名則源於它是一個商數(可逆傳導的熱量除以絕對溫度)。

除卻學術定義和方程式，一般而言，熵會被解釋成「無序/混亂的程度」或「不能利用的熱量」。雖然，以書桌越用越亂之類的現象，來解釋熵會自然增大的特性是很直觀，亦令人對這個概念的運用有個印象，但這樣的解釋並不會令人更容易理解「熵」本身。為何大自然要有這樣的一個量﹖為何這個量在封閉系統中一定要增長﹖並沒有甚麼更基本的定律可以解釋這點，於是我們只能把熵的增大本身視為另一基本定律(熱力學第二定律)。假如你去維基百科查熱力學第二定律，無論中文或英文，讀完大概也不會覺得自己真的明白了。

更有甚者，跟其他物理定律在時間上對稱(即是把過程倒轉也會一樣，例如甲球從左撞乙球倒播成乙球從右撞甲球，原有的碰撞原理同樣成立)不同，由於封閉系統中熵的增大是不可逆的，所以它為宇宙萬物加上了熱力學的時間箭頭。在宇宙學討論中這就像是另一個謎和前提，就好像是因為有第二定律才確保了時間是向前流動(而不會突然倒轉)似的。

可是，作者並不認為熵就是那麼難以理解。他認為只是因為學界初時並未確立物質的原子理論，而且對熱量和溫度的關係還未認清(這也是跟原子觀念有關)，所以才令「熵」在方程度中成為一個有量綱(單位)、好像有特殊含意的數字。(因為溫度就是粒子運動的平均動能，而熱量其實也是能量，可以採用相同的單位，相除之後就變成一個無量綱的數字)

在作者眼中，「熵」只不過是概率論和原子論的邏輯推論。假如我們可以詳細描寫每一個原子的狀況，一個系統裡所有原子狀況的版本，每一個出現的機會可能一樣(例如那是理想氣體的話)。可是對我們來說「有組織」或「有意義」的狀況只有極少數，而大部分的狀況對我們來說，都是無組織、無意義和不可區分的。(試想想人體的細胞如果位置大兜亂，人就難以生存下去﹔書裡的字調亂了通常就沒有意義。而跟細胞不同，同類的原子之間是不可區分的。)
因此，對於我們來說，原子排列絕大部分會出現的狀況，都是「混亂」或「不能利用」，而且不可區分的。所以，一個系統由「有序」出發，只要基於概率就會逐漸變成「無序」了。這只不過是概率導致「理所當然」的結果，沒甚麼神秘的。

作者進一步認為，熵更好的說法應該是「欠缺的資訊」(Missing Information)。雖然資訊理論的熵是後來才出現，但反而才是熵的「本尊」。

由於熵的增大只不過是概率結果，所以也沒有甚麼必然的「時間箭頭」。只不過是因為原子的數目實在太巨大(12克碳裡的碳原子有6.02 x 10^23個，而全球人類也不過是70億=7 x 10^9，兩者之間還相差14個零，即一百兆倍)，所以回復到極少數「低熵值」狀況的可能性，低到由宇宙誕生到滅亡都不大可能出現而已。(另見挑骨頭)

(給不用電腦計數的看倌注﹕「^」在這裡是代表次方(亦稱冪)的符號，一般印刷書中次方數會用上標字，但無法用上標字的場合(例如電腦編程)就用^，例如「n的平方」就是n^2。)

這個說法也引伸出一個很有趣的推論。就是因為我們沒有足夠的時間，去令(封閉系統的)熵逆轉這種可能性極低的狀況，有合理的出現機會，所以我們才見不到。換言之，假如我們有無限長的時間(比宇宙由誕生到預期滅亡的年齡還要長很多很多很多倍)，熵逆轉的情況是有可能出現的。

換言之，一個本來已達到熱寂狀態的系統，可以突然變回高度有序的狀態重頭開始。
說到這裡，有沒有突然想起阿西莫夫那篇《最後的問題》的結局﹖作者也同樣想到這一點跟聖經創世故事的巧合點。

為了讓沒有數學或統計力學背景的人(即是絕大部分人)都能了解這些內容，作者設計了一些利用骰子的思考實驗(作者亦預備了模擬軟件，讀者可自行下載運算試試)，讓讀者以玩遊戲的方式體驗概率推演帶來影響，並連結到作者講述的「熵」(或「欠缺的資訊」)身上。
回想在下每年教學生教大富翁，首先也要「上堂」，包括介紹那兩粒骰子的點數分佈。因為如果學生明白了骰子點數出現的概率有不同，在遊戲中就能更好地計劃安排。如果你明白了骰子的概率分佈是怎樣一回事，你也會更易理解作者為何會說「熵的增大」其實只是概率導致的邏輯結果。
對於一些比較「話頭醒尾」(或者對概率論較熟悉)的讀者，本書中間部分會比較悶。因為本書前大半篇幅都是反反覆覆用不同的方式玩骰子遊戲，講述規則略為改變之下的概率分佈變化。其實就是旨在讓讀者能夠徹底明瞭機率運作的概念。有了這些思想準備，到後半部作者正式討論「熵」的時候，你就會比較容易得到「理應如此」的感覺。

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挑骨頭﹕

p.71 「階層」應為「階乘」，拼音輸入之誤。
(給數學已還給老師的看倌注﹕階乘即是由1開始逐個實數乘到自身為止，n! = 1*2*3.....*n)

p.155 「光合異構物」應為「光學異構物」，仍是拼音輸入的錯。

p.115-117 「一旦到達平衡線(這得經過相當多的步驟)，就幾乎永遠停留在那附近﹔遊戲的曲線和平衡線合而為一，看不到任何主要的跳動﹔當然也沒有回到最初的組態，但是發生的機率依然不是零，而是(1/2)^10000，或10^3000步(1後面有3000個0，不要想能把它寫出來)中的一步。這是說實際上我們『絕不會』造訪初始組態，而且一旦到達平衡線，就會『永遠』停留在這個位階附近。

用括弧括起『絕不會』及『永遠』，來提醒你『絕不會』和『永遠』不是絕對的，也就是說『偶爾』還是有機會光顧初始組態的﹔但這個機會對於N=1000已經是微乎其微，而我們在第七章處理真實系統時，還會看到N=10^23數量級的數字，這較N=1000大10億乘10億倍。對於這樣的系統，造訪初始組態的機率微小到我們可以真正的用『絕不會』和『永遠』的字眼，而不需要括弧。

讓你來感覺一下這數字的意義。想想看，用每秒鐘進行1000步的速率玩遊戲，假如你可以更快，那就每秒鐘進行一百萬步﹔宇宙目前的年齡估計為150億年，於是，假如你每秒鐘進行一百萬步的速率玩遊戲，總共會進行 10^6 x 60 x 60 x 24 x 365 x 15 x 10^9 = 4 x 10^16步。

就是說，在這段時間裡你進行了 10,000,000,000,000,000步，意謂(應為「味」)著你用整個宇宙年齡長度玩這個遊戲，也到不了初始組態一次﹔你必須玩10億倍宇宙年齡的時間，才能造訪初始組態。因此，雖然我們承認『絕不會』不是絕對的，其實它非常接近絕對。」

這個解釋較容易理解，但其實並不符合概率論。這也是討論「N年不遇」時經常出現的誤解，就是以為一件「平均N年一次」或「N年不遇」的事必須要N年才出現一次，或者是N年內就「必定會」和「只會」出現一次。

可是，「N年不遇」的重現期其實是按照同類事件出現的頻率計算(當然有部分是推算的，所以其實不應當實數)，它其實是一個概率推算。所謂「百年不遇」其實是每年有1%機會發生的意思。
那是否代表100年就是100%會發生百年不遇的事件﹖其實也不是，有學過概率的人可以自己計算，假如一年有1%機會發生，即是不發生的機會是99%，連續一百年不發生的機率應為99%自乘一百次= 0.99^100 = 0.366。即是說有36.6%機會在選定的一百年內沒發生過這件事。反過來說，連續兩次發生百年不遇的事件，是0.01 x 0.01 = 0.0001，即是萬分之一的機會，雖然機會微但不是不可能。
如果是連續一百年中最少發生一次的機會，就是 0.99^99 * 0.01 * 100 = 0.3697296... (37%)。(0.99^99即是99年不發生的機會而0.01是剩下那一年發生的機會，100是可能發生的組合數目—100年就有100個「發生一次」的可能性囉)
連續一百年中最少發生兩次的機會，是 0.99^98 * 0.01*0.01 * 4950 = 0.1848648... (18%)。(算式同上，4950是來自 nCk=n!/k!(n-k)!，100C2 = 100! / 2!(100-2)! = 100! / 2!*98! = 100*99 / 2 = 4950，即是一百年內發生兩次，假如一年只有可能發生一次，就有4950種可能性。方某非主修數學，如果這裡概率計算有誤請看倌指正。)

同樣地，就算(封閉系統中)「逆熵」事件自行發生的機率微細到，「重現期」比宇宙年齡還要長很多倍，也不代表必須等上同等的時間才會發生。只是發生的機會小到你不可能預期會在宇宙年齡內發生，於是可以忽略，當成「不會發生」吧了。

p.216 「很有趣，有很多書以『熵』及『第二定律』當書名(見〈參考資料及延伸閱讀〉中的書名)，就我所知沒有任何一項物理定律得到如此禮遇。」

這個說法有點怪，不知英文書市是否那麼愛「熵」，但中文書市應該不是。中文書市見得最多的，首選「相對論」。連日本《牛頓》幾乎年年都有相對論特輯。

(方某人其他書評書介)